CPGE Carnot - Conseils en ECG - Mathématiques approfondies en première année

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En mathématiques, le niveau des concours est beaucoup plus exigeant que celui de Terminale S. Il ne s'agit plus de « savoir refaire » des exercices types appris par cœur, ni d'utiliser la calculatrice (qui est interdite aux concours).

Pendant l'été, il est vivement conseillé de revoir l'intégralité du cours de Terminale et de refaire des exercices (types annales du BAC) sans utiliser de calculatrice ou de documents. Il est essentiel d'avoir assimilé le cours, c'est-à-dire d'être capable de rédiger les « questions de cours » du BAC, sans calculatrice et sans faire du « par cœur ». Il est important de comprendre les principes des preuves, l'enchaînement des arguments (de tous les arguments) et de savoir manipuler les notions rencontrées au lycée.

Voici les notions essentielles :

Calculs dans $\mathbb{R}$ . Savoir manipuler des fractions, puissances, racines carrées, valeurs absolues, résoudre des équations et inéquations (notamment du type , $ax^2+bx+c\geq 0$ , , etc.) Par exemple, il est impératif de comprendre pourquoi la phrase « Si , alors » est fausse1. Autre exemple : si on veut résoudre l'inéquation $5-2x\leq \sqrt{x+7}$ , d'inconnue $x\in \mathbb{R}$ , peut-on se ramener2 à $(5-2x)^2\leq x+7$ et donc à la résolution d'une inéquation du second degré?
Raisonnement par récurrence. (pour les élèves ayant suivi l’enseignement de spécialité). Un raisonnement par récurrence est précis : il y a plusieurs étapes et il est essentiel de les écrire rigoureusement. Un classique à savoir rédiger parfaitement : montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ ,
$\displaystyle 1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
Suites numériques. Savoir étudier les suites arithmétiques et géométriques, savoir amorcer l’étude de la monotonie d’une suite, savoir calculer des limites simples à l’aide d’opérations algébriques ou du théorème des gendarmes.
Fonctions.
- Connaître les propriétés des fonctions usuelles : inverse, carré, cube, racine carrée, exponentielle et logarithme. Connaître les propriétés des fonctions cosinus et sinus (pour les élèves ayant suivi l’enseignement de spécialité en Terminale).
- Savoir calculer des limites obtenues à l’aide d’opérations algébriques.
- Savoir identifier les formes indéterminées et connaître les limites classiques : $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(x)}{x}$ , $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ , $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}$ .
- Savoir calculer une dérivée simple, déterminer son signe (et pas seulement les points d'annulation) et en déduire les variations de la fonction.
- Savoir manipuler les notions de monotonie et de continuité (notamment le théorème des valeurs intermédiaires). Par exemple, comment montrer que l'équation admet exactement trois solutions ?
- Savoir tracer la courbe représentative d'une fonction simple en mentionnant ses éléments caractéristiques (asymptotes, tangentes particulières) sans utiliser de calculatrice.
Primitives. Maîtriser le calcul de primitives de fonctions de la forme $u'\times u^{\alpha}$ , $u'\times e^u$ , $\dfrac{u'}{u}$ . Par exemple, quelle est la valeur de $x\longmapsto \dfrac{e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}$ .
Intégrales.Les élèves ayant suivi l’option de spécialité pourront aussi pratiquer les intégrations par parties durant l’été. Par exemple, quelle est la valeur4 de $\displaystyle\int_0^1\left(1-\cos(\pi x)+x^5-e^x+\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{7x}{(x^2-3)^2}\right)\,dx$ ?
Probabilités. Connaître les lois classiques, en particulier la loi binomiale.
Algorithmes et programmation. Connaître les structures de bases de l’algorithmique (notion de variable, type de variables, affectation, instruction conditionnelle, boucle, fonction, liste).

Le programme de Mathématiques approfondies de première année d'ECG est très chargé mais passionnant. Les notions peuvent paraître difficiles au premier abord, mais les exigences des professeurs sont toujours honnêtes. En particulier, les notions listées ci-dessus seront toutes reprises à la rentrée.

Vous pouvez utiliser le document suivant pour vous entraîner au calcul.

Les enseignants connaissent extrêmement bien le niveau des élèves. Les exercices sont adaptés et progressifs. Le but est de vous mener le plus rapidement possible à l'état d'esprit d'un élève de l'enseignement supérieur : rigueur, rapidité d'analyse, ténacité et capacité d'abstraction seront des compétences à acquérir au plus vite. Travailler régulièrement, bien apprendre son cours, s'attacher à appliquer les méthodes usuelles et écouter les conseils des professeurs est le meilleur moyen d'y parvenir rapidement.

1 On sait que $4=4$ mais est-ce que $2=-2$ ?

2 Oui si $5-2x\geq 0$ mais pas si $5-2x<0$ . En effet on ne peut « passer au carré » dans une inégalité que si les deux membres sont du même signe (et attention au sens de l'inégalité). Mais, si , $x$ vérifie l'équation n'est-ce-pas ? Et qu'en est-il si $x<-7$ ?

3 Pourquoi un argument ?

4 Par linéarité, on se ramène à la somme de 6 intégrales faciles à calculer. On trouve $\dfrac{19}{12}-e+\ln(2)$ .

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